Programme de formation de la 2e année de Licence Mathématiques et Informatique de la décision à Tunis
Analyse 3
Ects : 5
Volume horaire : 57 h
Compétences à acquérir :
Introduction de différents procédés de sommation comme l'intégrale généralisée, les séries numériques et les séries de fonctions.
Description du contenu de l'enseignement :
- Suites de Cauchy, propriétés, complétude de R.
- Séries numériques ; propriétés et exemples usuels, reste. Série absolument convergente. Séries positives. Séries de Riemann. Comparaison, équivalence. Critère de Cauchy, de D'Alembert, en n , d'Abel
- Intégrale généralisée sur un intervalle borné ou non. Intégrale de Riemann. Propriétés usuelles. Intégrale absolument convergente, semi-convergente. Intégrales positives. Critère de comparaison, critère d'équivalence, en (x-a) . Intégrale doublement généralisée. Exemples.
- Suites de fonctions : convergence simple, uniforme, interversion de limites. Continuité, intégration, dérivation.
- Séries de fonctions : convergence simple, absolue, uniforme et normale. Séries entières. Rayon de convergence. Lemme d'Abel. Critères de Cauchy, de D'Alembert, critères de comparaison, d'équivalence. Somme et produit, convergence uniforme, série primitive, série dérivée. Fonction développable en série entière. Régularité. Utilisation des formules de Taylor.
Algèbre Linéaire 3
Ects : 5
Volume horaire : 57
Compétences à acquérir :
Réduction des endomorphismes, espaces euclidiens, formes bilinéaires et quadratiques.
Description du contenu de l'enseignement :
- Réduction des endomorphismes : diagonalisation, trigonalisation, décomposition de Dunford et représentation de Jordan. Applications linéaires, théorème du rang et applications.
- Formes bilinéaires.
- Espaces euclidiens : produit scalaire, norme euclidienne, orthogonalité, bases orthonormées et procédé de Gram-Schmidt, projection orthogonale, endomorphismes orthogonaux.
- Formes quadratiques : réduction de Gauss, diagonalisation des matrices symétriques réelles et autres applications.
Probabilité 2
Ects : 5
Volume horaire : 57 h
Compétences à acquérir:
Calcul des probabilités sur un ensemble discret dénombrable et sur la droite réelle
Description du contenu de l'enseignement :
- Espace probabilisable, tribus et probabilités.
- Événements indépendants.
- Probabilités conditionnelles.
- Variables aléatoires.
- Loi d'une variable.
- Rappels sur les variables aléatoires finies.
- Cas des variables aléatoires discrètes dénombrables.
- Espérance - Variance - Lois usuelles.
- Cas des variables aléatoires continues à densité (support borné ou non borné).
- Lois usuelles.
- Fonction de répartition.
Algorithmique et Programmation 3
Ects : 7
Volume horaire : 51 h
Poursuite de l’analyse des algorithmes à travers l’étude de leur complexité et l’utilisation des structures arborescentes. Étude de leur implémentation sur machine en C.
Description du contenu de l'enseignement :
Comparaison asymptotique des algorithmes : principales classes de complexité.
Utilisation de structures arborescentes pour la recherche et le tri : arbres binaires et ABR, arbres équilibrés, tas.
Exemples d’algorithmes avancés : multiplication d'entiers et de matrices, élévation à la puissance.
Théorème de complexité des algorithmes récursifs du type divise-et-règne.
Microéconomie : théorie de l’équilibre général
Ects : 4
Volume horaire : 36 h
Compétences à acquérir :
Se familiariser avec les modèles de la micro-économie, et particulièrement les modèles d’équilibre général.
Description du contenu de l'enseignement :
Le consommateur (Ps ; contrainte budgétaire ; optimum du consommateur). Économies d'échange (Équilibre concurrentiel ; calcul pratique d'équilibres et boîte d'Edgeworth ; unicité). Optimalité de Pareto (Les deux théorèmes du bien-être ; caractérisation des optima de Pareto). Economies avec production (Optimum du producteur ; équilibre concurrentiel avec production ; économie de Robinson Crusoé ; caractérisation des optima de Pareto).
Défaillances du marché : effets externes et biens publics. (Effets externes : exemple ; externalités : conditions d'optimalité de Pareto. Biens publics : allocations Pareto optimales ; conditions de Bowen-Lindahl-Samuelson ; équilibre de Lindhal ; équilibre avec souscription).
Macroéconomie : analyse de court et moyen terme
Ects : 4
Volume horaire : 36 h
S’initier, à travers un cadre synthétique et par le biais d’une approche analytique, à analyse des grandes questions de la macroéconomie (détermination du produit intérieur brut, évolution du niveau général des prix, chômage, fluctuations des taux d’intérêt réels et nominaux, …).
Description du contenu de l'enseignement :
Introduction : la macroéconomie : questions de faits, d’histoire et de méthode. Un modèle pour l’analyse macroéconomique. Cadre comptable, comportements des agents, marchés (bien, monnaie, titre, travail), équilibres (équilibre à court terme, équilibre à moyen terme, équilibre à long terme).
L’origine des fluctuations. Paradoxe de l’épargne, rôle des déficits publics, monnaie et production, influence des anticipations, progrès technique et emploi, relance par les salaires et niveau d’activité, impact macroéconomique de la réduction du temps de travail, macroéconomie et finance.
Anglais 3
Ects : 2
Volume horaire : 20 h
Compétences à acquérir :
Maîtriser les structures grammaticales (Upper Intermediate Level) ; acquérir le vocabulaire de base de l’anglais des affaires ; communiquer dans un cadre professionnel.
Description du contenu de l'enseignement :
Travail (écrit et oral) par thème : marketing international, ressources humaines, gestion des risques en entreprise.
Analyse 4
Ects : 5
Volume horaire : 57 h
Compétences à acquérir :
Notions de Topologie : savoir démontrer qu'un ensemble est ouvert, fermé, borné; calculer l'intérieur, l'adhérence, la frontière dans des cas simples; savoir étudier les suites à valeurs dans Rn ou des espaces de matrices ; savoir utiliser la compacité en dimension finie, la notion d'ensemble dense, savoir utiliser la continuité pour montrer qu'un ensemble est ouvert, fermé ; savoir utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité; savoir étudier la norme d'applications (bi)linéaires en dimension finie; savoir calculer des dérivées partielles.
Description du contenu de l'enseignement :
- Espaces métriques. Exemples : espaces euclidiens, espaces vectoriels normés.
- Boules ouvertes, fermées, sphères.
- Parties bornées.
- Suites : convergence, bornitude, unicité de la limite. Suites extraites, valeurs d'adhérence.
- Ouvert, voisinage. Fermé, point adhérent. Intérieur, adhérence, frontière.
- Caractérisations séquentielles.
- Compacité (au sens de Bolzano-Weierstrass).
- Densité, exemples.
- Restrictions à une partie.
- Complétude : suites de Cauchy et définition d'un espace de Banach.
- Convergence normale dans un Banach.
- Exemple de l'exponentielle de matrice (TD).
- Comparaison des topologies, distances, normes. Normes équivalentes. Exemples de normes non équivalentes (TD).
- Limite en un point. Propriétés.
- Continuité. Caractérisation séquentielle.
- Image réciproque d'un ouvert, fermé.
- Compacité et continuité.
- Applications (bi)linéaires continues, norme. Exemple d’applications linéaires non continues (TD).
- Connexité et connexité par arcs.
- Dimension finie : équivalence des normes. Complétude.
- Convergence des coordonnées. Caractérisation des compacts.
- Calcul différentiel élémentaire en dimension finie (pas de différentielle) :
- Dérivées partielles d'ordre 1 ou 2, fonctions de classe C1 ou C2
Probabilité 3
Ects : 5
Volume horaire : 57 h
Compétences à acquérir :
Modélisation probabiliste et étude des phénomènes aléatoires illustrée par la simulation aléatoire et motivée par des problèmes de statistique. Mener l’étudiant à traiter de manière rigoureuse les problèmes de probabilités ne nécessitant pas l’emploi de la théorie de la mesure, dans le cadre discret et continu. Lui donner les moyens de bâtir sa propre intuition probabiliste au travers d’expériences sur ordinateur lors des séances de TP, incluant le langage R.
Description du contenu de l'enseignement :
- Cas des espaces produits (annexe sur somme et intégrale double, théorème d'interversion).
- Loi produit - lois marginales.
- Changement de variable.
- Densité conditionnelle (pour les statistiques).
- Théorèmes limites : Modes de convergence des variables aléatoires, LGN et TCL et Slutsky.
- Fonction caractéristique.
- Vecteurs gaussiens.
Méthodes numériques : algèbre matricielle et fonctions d'une variable réelle
Ects : 5
Volume horaire : 57 h
Compétences à acquérir:
Présentation de méthodes numériques de résolution et d'éléments d'analyse numérique. Mise en œuvre : utilisation de MatLab, GNU Octave, Python Numpy et Jupyter (travaux pratiques et projet).
Description du contenu de l'enseignement :
- Résolution de systèmes linéaires (méthodes directes, itératives, moindres carrés).
- Valeurs propres : méthode de la puissance et puissance inverse.
- Résolution équation scalaire non linéaire f(x)=0 : dichotomie, point fixe (Newton-Raphson et variantes).
- Interpolation polynomiale et moindres carrés.
- Formules de quadrature interpolatoire.
Complément Algèbre
Ects : 2
Volume horaire : 18 h
Compétences à acquérir :
- Maitriser les notions de bases sur la théorie des ensembles et notamment les propriétés liées à la dénombrabilité.
- Apprendre à construire des espaces complets par passage au quotient.
Description du contenu de l'enseignement :
I/ Retour sur la Théorie des Ensembles
- Opérations sur les ensembles (Intersection, Réunion, Complémentaire, Différence, Différence symétrique, …)
- Dénombrabilité.
- Relations d’équivalence, Ensembles quotients, Compatibilité des lois, factorisation des applications.
- Constructions des ensembles numériques classiques (Z, Q, R et C) à partir de N.
II/ Espaces quotients
- Complété d’un espace métrique.
- Relations d’équivalences modulo un sous-espace.
- Théorème d’Isomorphisme.
- Semi-normes et espaces quotients.
Programmation dynamique
Ects : 2
Volume horaire : 18 h
Compétences à acquérir :
Initiation à la programmation dynamique. Apprendre à optimiser en opérant par phases (ou séquences) dont l'efficacité repose sur le principe d'optimalité de Bellman : " Toute politique optimale est composée de sous-politiques optimales ". Maîtriser certaines approches d’optimisation à travers des exemples.
Description du contenu de l'enseignement :
Qu’est-ce que la programmation dynamique ?
Principe d’optimalité de Bellman
Exemples (Plus court chemin…)
Formulation Top Down et formulation Bottom Up
Equations de récurrence, équations de Bellman
Approches de Branch and Bound (Problème d’affectation de tâches, Problème de sac à dos….)
Programmation en C d’approches de résolution vu en cours
VBA
Ects : 2
Volume horaire : 18 h
Compétences à acquérir:
Analyser un problème donné et définir l’algorithme traduisant la solution du problème d’une manière rigoureuse et optimisée S’initier à l’automatisation dans Excel Acquérir quelques réflexes pour développer de manière pérenne et dynamique
Description du contenu de l'enseignement :
- VBA et Excel
- L’éditeur (VBE)
- Enregistrer des Macro
- Modèle objet de VBA
- Procédure Sub et Function
- Programmation en VBA
- Premier pas, Entrées/sorties
- Variables, instructions, opérateurs
- VBA, Tableaux et enregistrement
- Structures de contrôle de flux
- Objets Range
- Évènements automatiques
- Les UserForm avec VBA
- Expressions régulières et interaction avec la suite bureautique MS Office
R
Ects : 2
Volume horaire : 18 h
Compétences à acquérir :
- Maîtriser les bases du langage R (boucles, structures de contrôle, . . .)
- Identifier et utiliser des packages spécifiques pour répondre à des objectifs statistiques.
- Intégrer des fonctions avancées efficaces dans les scripts R.
- Générer des représentations graphiques personnalisées.
- Simuler des réalisations de variables .
Description du contenu de l'enseignement :
Introduction générale de R
Données Boucles et vectorisation : Graphiques
Fonctions
Programmation à partir des objets statistiques
Introduction à la finance
Ects : 5
Volume horaire : 51 h
Compétences à acquérir
Culture générale en finance et finance internationale.
Présenter les concepts de base et les opérations classiques en finance faisant intervenir une réallocation des liquidités d’une période à l’autre.
Présenter le marché des changes et les techniques de base associées à la gestion du risque de change.
Présenter les marchés de produits dérivés : descriptions de contrats, des intervenants et du fonctionnement.
Description du contenu de l'enseignement :
- Présentation des marchés financiers et produits dérivés.
- Taux d’intérêt simples et composés.
- Calcul actuariel, choix d’investissement, notion de taux de rentabilité interne.
- Notion d’arbitrage et de prix d’arbitrage. Application aux obligations.
- Produits dérivés 1 : contrats à terme, swaps.
- Produits dérivés 2 : options européennes; modèle binomial pour le calcul du prix d’arbitrage d’une option européenne ; extension au cas d’une option américaine.
Anglais 4
Ects : 2
Volume horaire :20 h
Compétences à acquérir
Maîtriser les structures grammaticales (Upper Intermediate Level) ; acquérir le vocabulaire de base de l’anglais des affaires ; communiquer dans un cadre professionnel.
Description du contenu de l'enseignement :
Travail (écrit et oral) par thème : financement de projets ; fusions et acquisitions.
Modalités pédagogiques
La formation démarre fin août / début septembre dont la présence en cours est obligatoire. Pour être admis à suivre les cours et à se présenter à un examen, les candidates et les candidats doivent avoir procédé, dans les délais requis, aux formalités d'inscription administrative auprès du service de la scolarité.
Ils doivent, en outre, avoir acquitté leurs droits de scolarité. Les enseignements de la 2ème année de Licence sont organisés en deux semestres S1 et S2. Chaque semestre est constitué d'un bloc fondamental et d'UE complémentaires, suivant la répartition donnée. Chaque bloc fondamental est composé de plusieurs UE. A chaque UE est associé un certain nombre de crédits européens (ECTS) ; à chaque semestre est associée la somme des ECTS associés aux UE composant le semestre.
La note finale de première session d'une UE est obtenue par pondération entre des notes de contrôle continu, de projets, d'examens partiels et terminaux. La note de contrôle continu (CC) peut faire intervenir plusieurs éléments : projets, devoirs, interrogations écrites. Toute UE pour laquelle l'étudiante ou l'étudiant a obtenu une note finale supérieure ou égale à 10/20 est définitivement acquise ainsi que les ECTS associés. Une année est définitivement acquise (ainsi que les 60 ECTS associés) si la note finale de l'année est supérieure ou égale à 10/20.