Mathématiques et Informatique pour la Décision - 3e année de Licence, campus de Tunis

Ects :6

Volume horaire : 60 h

Compétences à acquérir :

 Acquérir les bases du calcul différentiel dans un ouvert de Rn, avec théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites. Application : Optimisation libre dans un ouvert.

Mise en œuvre de méthodes numériques pour l'optimisation et d'éléments d'analyse numérique. 

Description du contenu de l'enseignement :

Partie 1

• Continuité directionnelle. 
• Dérivées directionnelles. Différentielle. 
• Dérivées partielles. 
• Opérations usuelles, dont composée.
• Accroissements finis. 
• Fonctions de classe C1. Caractérisation. 
• Gradient. Interprétation géométrique. 
• Dérivée d’ordre 2. Hessienne. Théorème de Schwarz (admis). 
• Formules de Taylor d’ordre 1 et 2 
• Optimisation libre : conditions d’ordre 1, d’ordre 2. 
• Cas des fonctions convexes une/deux fois différentiables. 
• Inversion locale, fonctions implicites.

Partie 2

• Optimisation continue en une dimension : généralités, notions de convergence, vitesse de convergence, section dorée, autres méthodes.
• Méthode de descente de gradient, méthode du gradient conjugué. Méthodes de Newton et quasi-Newton (BFGS) pour l’optimisation. Optimisation stochastique.  

Ects : 5

Volume horaire : 60 h

Compétences à acquérir : 
S’initier l’intégration dans les espaces abstraits (théorie de la mesure) et à l’analyse de Fourier; notions nécessaires pour la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale.

Description du contenu de l'enseignement :

• Théorie de la mesure (tribus, mesurabilité), intégration abstraite (Lebesgue).
• Théorèmes de convergence, théorème de Fubini, transformée de Fourier.
• Variables aléatoires, lois et convergence (presque sûre, en probabilité, en loi). 
• Lemmes de Borel-Cantelli, suites des variables indépendantes, lois des grands nombres (fort), théorème de la limite centrale.
• Espérance conditionnelle.

Ects : 5

Volume horaire : 51 h

Compétences à acquérir:

This course covers the fundamentals of parametric statistics, both from mathematical and methodological points of view, with some forays into computational statistics. The main theme is that modelling is an inherent part of the statistical practice, rather than an antecedent to the statistical step.

Description du contenu de l'enseignement :

• Statistics, the what and why 
• Probabilistic models for statistics
• Glivenko-Cantelli theorem, Monte Carlo principles, and the bootstrap
• Likelihood function, statistical information, and likelihood inference
• Bayesian inference

Description du contenu de l'enseignement :

Compréhension d’un modèle relationnel et passage au relationnel à partir d'un modèle entité/association ou UML Définition du modèle relationnel (schéma, relation, nuplet, contraintes d’intégrité…)

Rappel du vocabulaire et des concepts de la modélisation entité/association et de la modélisation UML

Explication du processus de passage d’un modèle entité/association ou UML à un modèle relationnel Langages formels d’interrogation Algèbre relationnelle

Calcul relationnel à variable nuplet

Langage SQL

Langage de manipulation de données

Langage de définition de schéma

Déclencheur (Trigger), définition de contraintes

Théorie des bases de données relationnelles

Définition des dépendances fonctionnelles

Décomposition de schémas

Formes normales

Description du contenu de l'enseignement :

Utilisation de systèmes de règles pour des problèmes de gestion et d’aide à la décision (représentation des règles métier de l’entreprise et du raisonnement afférent).

Principe de résolution.

Notion de faits, clauses du premier ordre et d'unification.  Chaînage avant, chaînage arrière, chaînage mixte.

Introduction au langage Prolog.

Utilisation du backtrack.

Notion de listes.

Programmation récursive.

Ects : 2

Volume horaire : 20 h

Compétences à acquérir :

Faire acquérir aux étudiants des connaissances linguistiques spécialisées leur permettant de fonctionner efficacement dans leur futur contexte professionnel. Parcours et progression différenciés par semestre. Utilisation large des ressources audiovisuelles (caméra).

Description du contenu de l'enseignement :

Faire acquérir aux étudiants des connaissances linguistiques spécialisées leur permettant de fonctionner efficacement dans leur futur contexte professionnel. Parcours et progression différenciés par semestre. Utilisation large des ressources audiovisuelles (caméra).

Ects : 6

Volume horaire : 60 h

Compétences à acquérir :

 Acquérir des bases en analyse fonctionnelle et en analyse hilbertienne. Se familiariser avec les espaces de fonctions classiques qui interviennent en probabilités et en analyse. Étudier la transformée de Fourier sur L1 et la convolution. Se familiariser avec l’analyse hilbertienne, et l’appliquer à la transformée de Fourier dans L2 et aux séries de Fourier.

Description du contenu de l'enseignement :

• Fonctions Lp. Inégalités de Minkowski et de Hölder. Espace Lp, complétude, réciproque du théorème de convergence dominée. Théorèmes de densité des fonctions régulières.
• Transformée de Fourier dans L1(R). Continuité, dérivabilité de la transformée de Fourier. Translation. Lemme de Riemann-Lebesgue. Transformée de Fourier de la gaussienne. Injectivité. Inversion.
• Produit de convolution dans L1(R). Généralisation : inégalité de Young. Bilinéarité, associativité, commutativité. Convolution et dérivation, et intégration. Translation. Lien entre convolution et transformée de Fourier.
• Produit scalaire réel, hermitien. Identité du parallélogramme, polarisation.
• Projection sur un convexe fermé. Cas d’un sous-espace vectoriel fermé. Théorème de Riesz.
• Orthogonalité. Familles orthonormales. Inégalité de Bessel. Bases hilbertiennes. Espace de Hilbert séparable. Égalité de Parseval.
• Application : transformée de Fourier dans L2.
• Séries de Fourier. Polynômes trigonométriques. Densité dans L2. Séries de Fourier et régularité. Théorème de convergence simple de Dirichlet. Théorème de convergence uniforme. Phénomène de Gibbs.

Ects : 4

Volume horaire : 39

Compétences à acquérir : Bases de la théorie des équations différentielles et introduction à l'approche « systèmes dynamiques » des systèmes d'équations différentielles.

Description du contenu de l'enseignement :

1. Théorème de Cauchy-Lipschitz, alternative d’explosion.
2. Résolution explicite en dimension 1 (variables séparables, équations linéaires).
3. Lemmes de Gronwall.
4. Systèmes d’équations différentielles linéaires, portraits de phase.
5. Stabilité, linéarisation. 
6. Méthode d’Euler explicite, consistance, stabilité.

Ects : 4

Volume horaire : 39 h

Compétences à acquérir:

Ce cours reprend et complète le cours du premier semestre « Statistical modelling » sous l'angle la théorie de la décision en statistique mathématique. Les principales notions abordées sont l'estimation paramétrique et les tests statistiques via la notion d'expérience statistique. 

Description du contenu de l'enseignement :

• Outils de probabilité 
• Concepts fondamentaux de la statistique
• Estimation ponctuelle
• Intervalles et régions de confiance 
• Tests d’hypothèses - Généralités
• Tests fondés sur la vraisemblance
• Tests asymptotiques - Tests du Chi2

Ects : 4

Volume horaire : 39 h

Compétences à acquérir :

S’initier à la notion de langage formel et aux méthodes permettant de spécifier les langages : description à travers des expressions, reconnaissance par des automates et génération par des grammaires formelles.  Mise en pratique par un projet sur machine

Description du contenu de l'enseignement :

• Langages et automates : alphabets, mots, langages, automates déterministes et non-déterministes, lemme de pompage, exemples
• Expressions : expressions régulières, équivalence entre expressions régulières et langages d’automates
• Analyse lexicale
• Grammaires : langages non rationnels, grammaires régulières, algorithme de reconnaissance CYK.
• Automates à pile : automates à pile, langages non-algébriques
• Analyse syntaxique
• Exemple de grammaires XML
• Introduction à la compilation
• Hiérarchie de Chomsky, Machines de Turing, introduction à la calculabilité
• Applications avec Flex/Bison

Ects : 4​

Volume horaire : 39 h

Compétences à acquérir :

Comprendre les différentes tâches d’un système d’exploitation : faire l’interface entre l’utilisateur et la machine, gestion des processus (ordonnancement, communication), gestion des ressources (exclusion mutuelle), gestion des fichiers (organisation du disque) et de la mémoire (mémoire virtuelle).Comprendre le lien entre systèmes d’exploitation et développement : appels système, compilation, librairies…

Description du contenu de l'enseignement :

Les grandes parties de ce cours sont les suivantes : 

1. Rappels sur le langage de programmation C ;
2. Vue générale d'un système d'exploitation;
3. Système de gestion de fichiers UNIX ;
4. Généralités sur les processus et ordonnancement ;
5. Gestion des processus sous UNIX ;
6. Communication inter-processus par tubes et notion de mémoire partagée ;
7. Communication inter-processus par signaux.

Ects : 3

Volume horaire : 30 h

Compétences à acquérir :

Méthodes de mesure et d’analyse des stratégies de gestion des produits dérivés et des risques financiers.

Description du contenu de l'enseignement :

• Rappel du modèle binomial, notion de probabilité risque neutre.
• Théorie de l’arbitrage dans un modèle à une période.
• Marché complet et unicité de la probabilité risque neutre.
• Sélection de probabilité risque neutre via la maximisation d’utilité.
• Théorie de l’arbitrage dynamique (multi-périodes). Options Américaines.

Ects : 3

Volume horaire : 30 h

Compétences à acquérir :

Ce cours est un cours d’économie du risque : modélisation du problème de choix en environnement incertain et applications en finance et en assurance.

Description du contenu de l'enseignement :

1. Choix en environnement risqué et théorie de von Neumann Morgenstern (vNM). (Préférences sur les loteries ; axiomatique de vNM ; théorème de l’espérance d’utilité ; limites de la théorie vNM : paradoxes d’Allais et d’Ellsberg).
2. Aversion pour le risque (Définition et mesure ; notion d’équivalent certain ; comparaison des aversions au risque)
3. Comparaison des risques : dominance stochastique d’ordre 1 et d’ordre 2.
4. Applications (demande d’actif risqué en Finance, théorème d’Arrow en assurance…).

Ects : 2

Volume horaire : 20 h

Compétences à acquérir :

Maîtrise des connaissances linguistiques spécialisées permettant de fonctionner efficacement dans le contexte professionnel. Une expérience pilote déjà menée sur le Portfolio Européen des Langues (CercleS version for Higher Education, approuvée par le Conseil de l’Europe) est susceptible d’être élargie. Parcours et progression différenciés selon les niveaux, utilisation large des ressources vidéo, laboratoire de langues, et NTICE du Centre de Ressources en Langues (utilisation de logiciels intégrée au cours et proposés en auto-formation).

Description du contenu de l'enseignement :

Groupes de niveau permettant de décliner compréhension et expression écrite (lettres de motivation, CV, mémos, rapports, synthèses) et compréhension et expression orale (vidéos, public speaking, présentations PP, entretiens, réunions).